[2007年] 设矩阵则A与B( ).

admin2021-01-25  43

问题 [2007年]  设矩阵则A与B(     ).

选项 A、合同且相似
B、合同但不相似
C、不合同但相似
D、既不合同又不相似

答案B

解析 解一  易求得|λE-A|=λ(λ-3)2,故A的特征值为3,3,0,而B的特征值为1,1,0,它们不相同,但正特征值个数相同,且秩(A)=秩(B)=2,故A与B不相似,但合同.仅(B)入选.
    解二  由命题2.5.3.3(4)知,如A与B相似,则tr(A)=tr(B),但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2,故A与B不相似.
    由于A的特征值为3,3,0,而B的特征值为1,1,0,XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数p=2,q=0.因而由命题2.6.4.1知A与B合同,于是仅(B)入选.
    解三  其中秩(G)=1,由命题2.5.1.5即知,G的特征值为-3,0,0.因而A的特征值为0,3,3.而B的特征值为1,1,0.显然A与B不相似,但A与B的正惯性指数均为2,0,故A与B合同.仅(B)入选.
    注:命题2.5.1.5  设n阶矩阵A=[aij],若秩(A)=1,则A有n-1个零特征值λ12=…=λn-1=0,另一个特征值为λn=a11+a22+…+ann=tr(A)(称为A的迹).
        命题2.5.3.3  设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似,则(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn,即tr(A)=tr(B).
        命题2.6.4.1  两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同,且有相同的正惯性指数,即正、负特征值个数分别相同,亦即二次型XT、AX和XTBX有相同的正、负惯性指数.
                        两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值及重数,两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩及相同的正(或负)惯性指数,因此两个同阶实对称矩阵相似必合同,但这两个矩阵合同而不一定相似(即两个同阶实对称矩阵的正、负惯性指数相同,不一定正、负特征值相同),因此得到下述命题.
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