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  3. [2007年] 设矩阵则A与B( ).

[2007年] 设矩阵则A与B( ).

admin2021-01-25  65
问题 [2007年]  设矩阵则A与B(     ).
选项 A、合同且相似
B、合同但不相似
C、不合同但相似
D、既不合同又不相似
答案B
解析 解一  易求得|λE－A|=λ(λ－3)2，故A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，它们不相同，但正特征值个数相同，且秩(A)=秩(B)=2，故A与B不相似，但合同．仅(B)入选．
    解二  由命题2．5．3．3(4)知，如A与B相似，则tr(A)=tr(B)，但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2，故A与B不相似．
    由于A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数p=2，q=0．因而由命题2．6．4．1知A与B合同，于是仅(B)入选．
    解三  其中秩(G)=1，由命题2．5．1．5即知，G的特征值为－3，0，0．因而A的特征值为0，3，3．而B的特征值为1，1，0．显然A与B不相似，但A与B的正惯性指数均为2，0，故A与B合同．仅(B)入选．
    注：命题2．5．1．5  设n阶矩阵A=[aij]，若秩(A)=1，则A有n－1个零特征值λ1=λ2=…=λn－1=0，另一个特征值为λn=a11+a22+…+ann=tr(A)(称为A的迹)．
        命题2．5．3．3  设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似，则(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．
        命题2．6．4．1  两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同，且有相同的正惯性指数，即正、负特征值个数分别相同，亦即二次型XT、AX和XTBX有相同的正、负惯性指数．
                        两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值及重数，两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩及相同的正(或负)惯性指数，因此两个同阶实对称矩阵相似必合同，但这两个矩阵合同而不一定相似(即两个同阶实对称矩阵的正、负惯性指数相同，不一定正、负特征值相同)，因此得到下述命题．
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考研数学三

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