设f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明：对任意小于1的正数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=f(ξ+a)．

admin2021-08-05 11

问题设f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明：对任意小于1的正数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=f(ξ+a)．

选项

答案设F(x)=f(x)一f(x+a)，则F(x)在[0，1—a]上连续．又 F(0)=f(0)一f(a)=一f(a)≤0．F(1—a)=f(1—a)—f(1)=f(1一a)≥0，则(1)若f(a)=0或f(1—a)=0，结论成立． (2)f(a)＞0或f(1—a)＞0，由零点存在定理得，存在一点ξ∈(0，1—a)=(0，1)使得F(ξ)=0，即可得结论．

解析

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