设矩阵Am×n经过若干次初等行变换后得到B，现有4个结论，其中正确的是( ) ①A的行向量均可由B的行向量线性表示； ②A的列向量均可由B的列向量线性表示； ③B的行向量均可由A的行向量线性表示； ④B的列向量均可由A的列向量线性表示。

admin2015-12-03 79

问题设矩阵A_m×n经过若干次初等行变换后得到B，现有4个结论，其中正确的是( )
①A的行向量均可由B的行向量线性表示；
②A的列向量均可由B的列向量线性表示；
③B的行向量均可由A的行向量线性表示；
④B的列向量均可由A的列向量线性表示。

选项 A、①、②
B、①、③
C、②、③
D、③、④

答案B

解析由A经初等行变换得到B知，有初等矩阵P₁，P₂，…，P使得P_S…P₂P₁A=B。记P=P_S…P₂P₁，则P=(p_ij)_n×m是可逆矩阵，将A，B均按行向量分块有

这表明p_i1α₁+p_i2α₂+…+p_imα_m=β_i(i=1，2，…，m)，故B的行向量均可由A的行向量线性表出，因P=(p_ij)_m×n是可逆矩阵，所以两边同乘P^-1得

故A的行向量均可由B的行向量线性表出。故选B。

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考研数学一

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