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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0.试证明:在[0,π]内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0.试证明:在[0,π]内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。
admin
2019-06-30
71
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=∫
0
)
π
f(x)cosxdx=0.试证明:在[0,π]内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,则F(0)=F(π)=0。 又因为 0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x)=[F(x)cosx]
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx =∫
0
π
F(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0,因为若不然,则在(0,π)内恒正或者恒负,均与 ∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾。 但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,所以只有F(ξ)=0。 由以上可知,存在满足0<ξ<π的ξ,使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0; 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在两个不同的点ξ
1
∈[0,ξ],ξ
2
∈[ξ,π],使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即得到: 在[0,π]内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
解析
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本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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