2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

admin2017-12-23  76
问题 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．
选项
答案用反证法：若χ1＋χ2是A的属于特征值λ0的特征向量．则有A(χ1＋χ2)＝λ0(χ1＋χ2)，即Aχ1＋Aχ2＝λ0χ1＋λ0χ2，因Aχi＝λiχi(i＝1，2)，得(λ1－λ0)χ1＋(λ2－λ0)χ2＝0，由于属于不同特征值的特征向量χ1与χ2线性无关，得λ1－λ0＝0＝λ2－λ0[*]λ1＝λ2，这与λ1≠λ2发生矛盾．
解析
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考研数学二

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