设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.

admin2017-12-23  34

问题 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值,χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.

选项

答案用反证法:若χ1+χ2是A的属于特征值λ0的特征向量.则有A(χ1+χ2)=λ01+χ2),即Aχ1+Aχ2=λ0χ1+λ0χ2,因Aχi=λiχi(i=1,2),得(λ1-λ01+(λ2-λ02=0,由于属于不同特征值的特征向量χ1与χ2线性无关,得λ1-λ0=0=λ2-λ0[*]λ1=λ2,这与λ1≠λ2发生矛盾.

解析
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