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证明:若f(x)≥0,其中x∈(a,b),且f”’(x)存在,f(x)=0有两个相异实根,则存在c∈(a,b),使得f”’(c)=0.
证明:若f(x)≥0,其中x∈(a,b),且f”’(x)存在,f(x)=0有两个相异实根,则存在c∈(a,b),使得f”’(c)=0.
admin
2022-11-23
23
问题
证明:若f(x)≥0,其中x∈(a,b),且f”’(x)存在,f(x)=0有两个相异实根,则存在c∈(a,b),使得f”’(c)=0.
选项
答案
∵f(x)=0在区间(a,b)中有两个相异实根,∴[*]x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
<x
2
使得f(x
1
)=f(x
2
)=0.又f(x)≥0,[*]x∈(a,b),故x
1
,x
2
必然是f(x)的局部极小值点.由费马定理可得f’(x
1
)=f’(x
2
)=0.由于f”’(x)存在,故f”(x),f’(x)存在且f”(x),f’(x),f(x)均在(a,b)连续. 在[x
1
,x
2
][*](a,b)内使用罗尔定理,[*]ξ∈(x
1
,x
2
),使得f’(ξ)=0.同理,[*]ξ
1
∈(x
1
,ξ),ξ
2
∈(ξ,x
2
),使得f”(ξ
1
)=f”(ξ
2
)=0.再次使用罗尔定理,[*]c∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得f”’(c)=0.
解析
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考研数学一
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