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设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,且A11≠0,证明:方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解.
设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,且A11≠0,证明:方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解.
admin
2012-05-31
84
问题
设A为n阶方阵,A
*
为A的伴随矩阵,且A
11
≠0,证明:方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A
*
x=0的解.
选项
答案
必要性:Ax=b有无穷多解,∴r(A)<n,即|A|=0, 有A
*
b=A
*
Ax=|A|x=0,即b是A
*
x=0的解. 充分性:∵b为A
*
x=0的解,即A
*
x=0有非零解. ∴r(A
*
)<n.又A
11
≠0,∴r(A
*
)=1,r(A)=n-1. 同时由A
*
A=|A|E=0,A
*
b=0,令A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),则α
1
,α
2
,…,α
n
是A
*
x=0的解, ∵A
11
≠0,∴α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,∴α
1
,α
2
,…,α
n
是方程组A
*
x=0的基础解系,b可由α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示,即b可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示, ∵Ax=b有解,又r(A)=n-1,∴Ax=b有无穷多解.
解析
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考研数学二
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