2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax＝b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x＝0的解．

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax＝b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x＝0的解．

admin2012-05-31  78
问题 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax＝b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x＝0的解．
选项
答案必要性：Ax＝b有无穷多解，∴r(A)＜n，即｜A｜＝0， 有A*b＝A*Ax＝｜A｜x＝0，即b是A*x＝0的解． 充分性：∵b为A*x＝0的解，即A*x＝0有非零解． ∴r(A*)＜n．又A11≠0，∴r(A*)＝1，r(A)＝n－1． 同时由A*A＝｜A｜E＝0，A*b＝0，令A＝(α1，α2，…，αn)，则α1，α2，…，αn是A*x＝0的解， ∵A11≠0，∴α1，α2，…，αn线性无关，∴α1，α2，…，αn是方程组A*x＝0的基础解系，b可由α2，α3，…，αn线性表示，即b可由α1，α2，α3，…，αn线性表示， ∵Ax＝b有解，又r(A)＝n－1，∴Ax＝b有无穷多解．
解析
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考研数学二

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