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设f(x)在(-∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=求证:(Ⅰ)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.(Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
设f(x)在(-∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=求证:(Ⅰ)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.(Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
admin
2016-10-20
44
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=
求证:(Ⅰ)若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.(Ⅱ)(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
选项
答案
(Ⅰ)F(x)在(-∞,+∞)上有定义,且F(x)=[*] 作换元t=-u,则当t=0→-x [*] u:0→x,且dt=-du,代入可得 [*] 这表明F(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. (Ⅱ)显然F(0)=0,由f(x)在(-∞,+∞)上有连续导数,且f’(0)≠0知[*]使当|x|<δ时f’(xx)与f’(0)同号.为确定起见,无妨设f’(0)>0,于是当|x|<δ时f’(x)>0.计算可得 [*] 故(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.
解析
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考研数学三
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