2. 考研
  3. 设f(t)＝｜χy－t｜dχdy，其中D：0≤χ≤1，0≤y≤1，而t∈[0，1]． (Ⅰ)求f(t)的表达式； (Ⅱ)证明f′(t)＝0在(0，1)内有且仅有一个根．

设f(t)＝｜χy－t｜dχdy，其中D：0≤χ≤1，0≤y≤1，而t∈[0，1]． (Ⅰ)求f(t)的表达式； (Ⅱ)证明f′(t)＝0在(0，1)内有且仅有一个根．

admin2016-03-16  81
问题 设f(t)＝｜χy－t｜dχdy，其中D：0≤χ≤1，0≤y≤1，而t∈[0，1]．
    (Ⅰ)求f(t)的表达式；
    (Ⅱ)证明f′(t)＝0在(0，1)内有且仅有一个根．
选项
答案[*] (Ⅱ)f′(t)＝－1＋2t(1－lnt)，f′(t)在(0，1]上连续，又f′(1)＝1＞0．limf′(t)＝－1＜0， 所以由保号性知存在t0∈(0，1)，f′(t0)<0，故f′(t)＝0在(0，1)内至少有一根，又因为 f〞(t)＝－2lnt＞0(0＜t＜1) 所以f′(t)在(0，1]上单调递增，故f′(t)＝0在(0，1)内恰有一根．
解析
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考研数学二

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