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设f(t)=|χy-t|dχdy,其中D:0≤χ≤1,0≤y≤1,而t∈[0,1]. (Ⅰ)求f(t)的表达式; (Ⅱ)证明f′(t)=0在(0,1)内有且仅有一个根.
设f(t)=|χy-t|dχdy,其中D:0≤χ≤1,0≤y≤1,而t∈[0,1]. (Ⅰ)求f(t)的表达式; (Ⅱ)证明f′(t)=0在(0,1)内有且仅有一个根.
admin
2016-03-16
50
问题
设f(t)=
|χy-t|dχdy,其中D:0≤χ≤1,0≤y≤1,而t∈[0,1].
(Ⅰ)求f(t)的表达式;
(Ⅱ)证明f′(t)=0在(0,1)内有且仅有一个根.
选项
答案
[*] (Ⅱ)f′(t)=-1+2t(1-lnt),f′(t)在(0,1]上连续,又f′(1)=1>0.limf′(t)=-1<0, 所以由保号性知存在t
0
∈(0,1),f′(t
0
)<0,故f′(t)=0在(0,1)内至少有一根,又因为 f〞(t)=-2lnt>0(0<t<1) 所以f′(t)在(0,1]上单调递增,故f′(t)=0在(0,1)内恰有一根.
解析
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考研数学二
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