2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=|λE-B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

(1)设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=|λE-B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2021-11-26  1
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=|λE-B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案(1)因为|λE-A|=|λE-B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn，因为A，B都可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 P1-1AP1=[*] 由P1-1AP1=P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 取P1P2-1=P，则P-1AP=B，即A～B． (2)由|λE-A|=[*]=(λ-1)2(λ-2)=0得 A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1； 由|λE-B|=[*]=(λ-1)2(λ-2)=0得 B的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1． [*] A的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为α2=[*] [*]
解析
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考研数学一

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