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已知函数y=ex和y=e-2x是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py’+qy=0的两个解,试确定常数P,q的值,并求微分方程y"+py’+qy=ex的通解.
已知函数y=ex和y=e-2x是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py’+qy=0的两个解,试确定常数P,q的值,并求微分方程y"+py’+qy=ex的通解.
admin
2012-01-13
86
问题
已知函数y=e
x
和y=e
-2x
是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py’+qy=0的两个解,试确定常数P,q的值,并求微分方程y"+py’+qy=e
x
的通解.
选项
答案
特征方程的两个根为r
1
=1,r
2
=-2,特征方程为r
2
+r-2=0,从而p=1,q=-2;ω=1是特征方程的单根,p(x)=1,可设Q(x)=Ax,即设特解为Y=Axe
x
,Y’=Ae
x
+Axe
x
,Y"=2Ae
x
+Axe
x
,p=1,q=-2,代入方程y"+py’+qy=e
x
得(2A+Ax+A+Ax-2A)e
x
=e
x
,即3A=1,A=[*],所以微分方程y"+py’+qy=e
x
的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
+[*].
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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