已知函数y=ex和y=e-2x是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py’+qy=0的两个解，试确定常数P，q的值，并求微分方程y"+py’+qy=ex的通解．

admin2012-01-13 45

问题已知函数y=e^x和y=e^-2x是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py’+qy=0的两个解，试确定常数P，q的值，并求微分方程y"+py’+qy=e^x的通解．

选项

答案特征方程的两个根为r₁=1，r₂=-2，特征方程为r²+r-2=0，从而p=1，q=-2；ω=1是特征方程的单根，p(x)=1，可设Q(x)=Ax，即设特解为Y=Axe^x，Y’=Ae^x+Axe^x，Y"=2Ae^x+Axe^x，p=1，q=-2，代入方程y"+py’+qy=e^x得(2A+Ax+A+Ax-2A)e^x=e^x，即3A=1，A=[*]，所以微分方程y"+py’+qy=e^x的通解为y=C₁e^x+C₂e^-2x+[*]．

解析

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