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(91年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
(91年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
admin
2021-01-15
19
问题
(91年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
选项
答案
曲线y=y(x)在P(x,y)处的法线方程为 [*] 它与x轴的交点为Q(x+yy’,0),则法线段PQ的长度为 [*] 由题设可得微分方程为 [*] 由于曲线y=y(x)是向上凹的,则y">0,由此上式可改写为 yy”=1+y’
2
且当x=1时,y=1,y’=0. [*] 两边积分并注意到y=1时,p=0,得 [*] 上式两边积分,并注意到x=1时y=1,得 [*] 因此,所求曲线方程为 [*] 将y移至右边再平方,整理得[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5Bq4777K
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考研数学一
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