随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角,求X的概率密度.

admin2017-10-25  37

问题 随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角,求X的概率密度.

选项

答案设比例系数为λ,而点落在半圆这个区域的概率为1,它应等于比例系数λ与半圆面积[*],因此,当0<x<[*]时,事件{X≤x}的概率是两个面积之比,其中分母为半圆面积[*]πa2;分子面积S是扇形ABC与三角形BOA的面积之和,即 [*] 所求的X的概率密度为f(x)=[*]

解析 由图2.1看出,X取值在(0,)内,由于X是一个连续型随机变量,我们通过它的分布函数F(x)求其概率密度f(x).
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