2. 考研
  3. 已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n－1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Axβ必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1．

已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n－1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Axβ必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1．

admin2019-12-26  83
问题 已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n－1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Axβ必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1．
选项
答案由题设卢=α1+α2+…+αn，可得 [*] 则向量η=(1，1，…，1)T是方程组Ax=β的解，由此知方程组Ax=β有解，故r(A)=r(A，β)． 由题设知α1，α2，…，αn－1线性相关，推得α1，α2，…，αn线性相关，而又由题设知α2，α3，…，αn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αn的秩为n－1，从而r(A)=n－1． 综上可知，r(A)=r(A，β)=n－1＜n．故方程组Ax=β有无穷多组解，并且其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n－(n－1)=1个非零解组成． 又由α1，α2，…，αn－1线性相关可知，存在不全为零的数λ1，λ2，…，λn-1，使 λ1α1+λ2α2+…+λn-1αn-1=0． 由此推得 [*] 所以非零向量(λ1，λ2，…，λn－1，0)T是Ax=0的解，因而是Ax=0的一个基础解系，故Ax=β的通解 x=k(λ1，λ2，…，λn－1，0)T+(1，1，…，1，1)T，其中k为任意常数， 且显见an=1．
解析
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考研数学三

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