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已知n维向量组α1,α2,…,αn中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α1+α2+…+αn,A=(α1,α2,…,αn).试证方程组Axβ必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2,…,αn)T中必有αn=1.
已知n维向量组α1,α2,…,αn中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α1+α2+…+αn,A=(α1,α2,…,αn).试证方程组Axβ必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2,…,αn)T中必有αn=1.
admin
2019-12-26
82
问题
已知n维向量组α
1
,α
2
,…,α
n
中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α
1
+α
2
+…+α
n
,A=(α
1
,α
2
,…,α
n
).试证方程组Axβ必有无穷多组解,且其任意解(α
1
,α
2
,…,α
n
)
T
中必有α
n
=1.
选项
答案
由题设卢=α
1
+α
2
+…+α
n
,可得 [*] 则向量η=(1,1,…,1)
T
是方程组Ax=β的解,由此知方程组Ax=β有解,故r(A)=r(A,β). 由题设知α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关,推得α
1
,α
2
,…,α
n
线性相关,而又由题设知α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关,所以向量组α
1
,α
2
,…,α
n
的秩为n-1,从而r(A)=n-1. 综上可知,r(A)=r(A,β)=n-1<n.故方程组Ax=β有无穷多组解,并且其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-(n-1)=1个非零解组成. 又由α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关可知,存在不全为零的数λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,使 λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
n-1
α
n-1
=0. 由此推得 [*] 所以非零向量(λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,0)
T
是Ax=0的解,因而是Ax=0的一个基础解系,故Ax=β的通解 x=k(λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,0)
T
+(1,1,…,1,1)
T
,其中k为任意常数, 且显见a
n
=1.
解析
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考研数学三
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