2. 考研
  3. 假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是X和Y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示： 1：u1(x,y)=xy

假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是X和Y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示： 1：u1(x,y)=xy

admin2013-12-23  136
问题 假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是X和Y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：
    1：u1(x,y)=xy
    2：u2(x,y)=xαyβ，其中α＞0，β＞0
    3：u3(x,y)=γlnx+(1-γ)lny，γ∈(0，1)
    (1)请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集：
    (2)假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费量；
    (3)证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；
    (4)现在假设商品x和商品y的价格分别是p1和p2，消费者2拥有I单位货币，请计算它的消费选择；
    (5)用公式和图像给出消费者3对于x商品的收入消费路径。
选项
答案(1)令效用等于常数，x和y的关系即为消费者的无差异曲线。消费者1的无差异曲线及上等值集如图(2.6)所示： [*] (2)消费者的问题可以用下面的数学规划表示： [*] 根据C-D效用函数的性质，上述问题等价于： [*] 构造拉格朗日函数为： L(x，y，λ)=αlnx+βlny－λ(2x+3y－120) 拉格朗日函数对自变量求导有： [*] (3)根据效用函数的性质，效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数，对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可以得到：lnu2=αlnx+βlny，令α=γ，β=1－γ，因此lnu2=γlnx+(1－γ)lny=u3． 因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的． (4)消费者的问题可以用下面的数学规划来表示： [*] 根据C－D效用函数的性质，上述问题等价于： [*] 构造拉格朗日函数为：L(x，y，λ)=αlnx+βlny－λ(p1x+p1y－1) 拉格朗日函数对自变量求导有： [*] (5)消费者3的最优化问题和消费者2是相同的．当x的价格不变时，x与I的数量关系就是x商品的收入路径．其图形如下图2．7： [*]
解析
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