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  3. 设A是三节矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知 P－1AP＝，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0， 则p是( )．

设A是三节矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知 P－1AP＝，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0， 则p是( )．

admin2016-01-25  27
问题 设A是三节矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知
    P－1AP＝，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0，
则p是(     )．
选项 A、[α1，α1，α1＋α3]
B、[α2，α3，α1]
C、[2α1＋3α2，一8α2，4α3]
D、[α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1]
答案C
解析 P的三个列向量是A的对直于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则：
(1)A的对于同一特征值的特征向量α1，α2的线性组合如kα1，kα1＋kα2仍是A的属于同一特征值的特征向量；
(2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是A的特征向量；
(3)P中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．
利用上述原则即可判定正确的选项．
解一  (A)中α1＋α3不是A的特征向量，(D)中α2＋α3，α3＋α1，也不再是A的特征向量，(B)中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致，故均不能充当P．仅(C)入选．
解二  因为α1、α2是λ＝1的特征向量，α3是λ＝0的特征向量，2α1＋3α2，一8α2仍是λ＝1的特征向量，4α3仍是λ＝0的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．仅(C)入选．
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考研数学三

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