2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．

admin2017-05-18  36
问题 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：
(I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．
选项
答案 利用极限的性质转化为有界区间的情形． (I)由[*]f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X1使得f(X1)＜μ． 由[*]f(x)=B＞μ可知，[*]X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X1，X2)[*](－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]f(x)=A，[*]f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X1使得当x∈(－∞，X1)时f(x)有界；[*]X2(＞X1)使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．
解析
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考研数学一

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