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设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限f(x)=B.证明: (I)设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)上有界.
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限f(x)=B.证明: (I)设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)上有界.
admin
2017-05-18
77
问题
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限
f(x)=B.证明:
(I)设A<B,则对
μ∈(A,B),
ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)上有界.
选项
答案
利用极限的性质转化为有界区间的情形. (I)由[*]f(x)=A<μ及极限的不等式性质可知,[*]X
1
使得f(X
1
)<μ. 由[*]f(x)=B>μ可知,[*]X
2
>X
1
使得f(X
2
)>μ.因f(x)在[X
1
,X
2
]连续,f(X
1
)<μ<f(X
2
),由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X
1
,X
2
)[*](-∞,+∞),使得f(ξ)=μ. (Ⅱ)因[*]f(x)=A,[*]f(x)=B,由存在极限的函数的局部有界性定理可知,[*]X
1
使得当x∈(-∞,X
1
)时f(x)有界;[*]X
2
(>X
1
)使得当x∈(X
2
,+∞)时f(x)有界.又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知,f(x)在[X
1
,X
2
]上有界.因此f(x)在(-∞,+∞)上有界.
解析
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考研数学一
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