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设α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm都是n维向量组，k1，k2，…，km和P1，P2，…，pm都是不全为0的数组，使得(k1＋p1)α1＋(k2＋p2)α2＋…＋(km＋pm)αm＋(k1－p1)β1＋(k2－p2)β2＋…＋(km－pm)βm＝0
设α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm都是n维向量组，k1，k2，…，km和P1，P2，…，pm都是不全为0的数组，使得(k1＋p1)α1＋(k2＋p2)α2＋…＋(km＋pm)αm＋(k1－p1)β1＋(k2－p2)β2＋…＋(km－pm)βm＝0
admin
2016-10-21
64
问题
设α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都是n维向量组，k
1
，k
2
，…，k
m
和P
1
，P
2
，…，p
m
都是不全为0的数组，使得(k
1
＋p
1
)α
1
＋(k
2
＋p
2
)α
2
＋…＋(k
m
＋p
m
)α
m
＋(k
1
－p
1
)β
1
＋(k
2
－p
2
)β
2
＋…＋(k
m
－p
m
)β
m
＝0，则( )成立．
选项
A、α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都线性相关．
B、α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都线性无关．
C、α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性无关．
D、α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性相关．
答案
D
解析
先排除选项A和选项B．
如果取α
1
，α
2
，…，α
m
都是零向量，β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，此时只要k
i
＝P
i
，i＝1，2，…，m，则条件也满足，排除了选项A和选项B．
现在要看α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性相关还是线性无关．
等式(k
1
＋p
1
)α
1
＋(k
2
＋P
2
)α
2
＋…＋(k
m
＋p
m
)α
m
＝(k
1
－P
1
)β
1
＋(k
2
－P
2
)β
2
＋…＋(k
m
－P
m
)β
m
＝0，可改写为
k
1
(α
1
＋β
1
)＋k
2
(α
2
＋β
2
)＋…＋k
m
(α
m
＋β
m
)＋p
1
(α
1
＋β
1
)＋P
2
(α
2
－β
2
)＋…＋P
m
(α
m
－β
m
)＝0，
由k
1
，k
2
，…，k
m
和p
1
，p
2
，…，P
m
都不全为0，得到α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性相关．
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