设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。

admin2022-09-05 69

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xtf(2x－t)dt=

arctanx²,已知f(1)=1,求∫₁²f(x)dx的值。

选项

答案令u=2x－t,则t=2x－u,dt=－du ∫₀^xtf(2x－t)dt=－∫_2x^x(2x－u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du 于是 2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du=[*]arctanx² 上式两边对x求导可得 2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x)·2－xf(x)]=[*] 即∫_x^2xf(u)du=[*]+xf(x) 令x=1得2∫₁²f(u)du=[*]+1=[*],于是∫₁²f(x)dx=[*]

解析

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