设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。

admin2022-09-05  53

问题 设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。

选项

答案令u=2x-t,则t=2x-u,dt=-du ∫0xtf(2x-t)dt=-∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du 于是 2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=[*]arctanx2 上式两边对x求导可得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x)·2-xf(x)]=[*] 即∫x2xf(u)du=[*]+xf(x) 令x=1得2∫12f(u)du=[*]+1=[*],于是∫12f(x)dx=[*]

解析
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