试证：｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．

admin2017-03-30 52

问题试证：｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．

选项

答案对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系．因此可以设y=f(x)=arctanx，不妨设a＜b，则y=arctanx在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．进而可知，y=arctanx在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点ξ∈(a，b)。使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)．由于 (arctanx)′=[*] 从而有 arctanb—arctana=[*](a＜ξ＜b)，｜arctanb一arctana｜=[*]｜b一a｜．由于1+ξ²≥1，因此｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．

解析由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式．

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设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f"(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F"(ξ)=0．

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