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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,...,xn)=Aij/丨A丨xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,...,xn)=Aij/丨A丨xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
admin
2013-03-04
64
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×x
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x
1
,x
2
,...,x
n
)=
A
ij
/丨A丨x
i
x
j
.
二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
经坐标变换X=A
-1
Y,有 g(X)=x
T
AX=(A
-1
Y)
T
A(A
-1
Y)=Y
T
(A
-1
)
T
Y=Y
T
A
-1
Y=f(Y), 即g(X)与f(X)有相同的规范形.
解析
如果f(x)=X
T
AX,其中A是实对称矩阵,那么X
T
AX就是二次型f(X)的矩阵表示,为此应读出双和号的含义.两个二次型如果其正负惯性指数相同,它们的规范形就一样。反之亦然.而根据惯性定理,经坐标变换二次型的正负惯性指数不变,因而规范形相同.
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考研数学三
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