2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，...,xn)=Aij/丨A丨xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，...,xn)=Aij/丨A丨xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

admin2013-03-04  104
问题 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，...,xn)=Aij/丨A丨xixj.
二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案经坐标变换X=A-1Y，有 g(X)=xTAX=(A-1Y)TA(A-1Y)=YT(A-1)TY=YTA-1Y=f(Y)， 即g(X)与f(X)有相同的规范形．
解析 如果f(x)=XTAX，其中A是实对称矩阵，那么XTAX就是二次型f(X)的矩阵表示，为此应读出双和号的含义．两个二次型如果其正负惯性指数相同，它们的规范形就一样。反之亦然．而根据惯性定理，经坐标变换二次型的正负惯性指数不变，因而规范形相同．
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考研数学三

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