设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,...,xn)=Aij/丨A丨xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.

admin2013-03-04  49

问题 设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×x中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,...,xn)=Aij/丨A丨xixj.
二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.

选项

答案经坐标变换X=A-1Y,有 g(X)=xTAX=(A-1Y)TA(A-1Y)=YT(A-1)TY=YTA-1Y=f(Y), 即g(X)与f(X)有相同的规范形.

解析 如果f(x)=XTAX,其中A是实对称矩阵,那么XTAX就是二次型f(X)的矩阵表示,为此应读出双和号的含义.两个二次型如果其正负惯性指数相同,它们的规范形就一样。反之亦然.而根据惯性定理,经坐标变换二次型的正负惯性指数不变,因而规范形相同.
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