圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：=1过点P且离心率为√3. 求C1的方程；

admin2019-06-01 48

问题圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C₁：

=1过点P且离心率为√3.

求C₁的方程；

选项

答案设切点P(x₀，y₀)，(x₀＞0，y₀＞0)，则切线的斜率为－[*]，可得切线的方程为y—y₀=－[*](x－x₀)，化为x₀x+y₀y=4．令x=0，可得y=[*]；令y=0，可得x=[*]．∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形的面积S=[*]．∵4=x₀²+y₀²≥2x₀y₀，当且仅当x₀=y₀=√2时取等号．∴S≥[*]=4．此时P(√2，√2)．由题意可得[*]，解得a²=1，b²=2. 故双曲线C₁的方程为x²－[*]=1．

解析

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圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：=1过点P且离心率为√3. 求C1的方程；

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