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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，通过正交变换可化为标准形f＝y12＋2y22＋5y312，求参数a以及所用的正交变换．

已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，通过正交变换可化为标准形f＝y12＋2y22＋5y312，求参数a以及所用的正交变换．

admin2020-06-05  110
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，通过正交变换可化为标准形f＝y12＋2y22＋5y312，求参数a以及所用的正交变换．
选项
答案二次型f的矩阵为A＝[*]，A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－3－a)(λ－3＋a)(λ－2) 求得A的特征值为λ1＝2，λ2＝3－a，λ3＝3＋a． 由于通过正交变换可将二次型化为标准形f＝y12＋2y22＋5y32，所以A的特征值为1，2，5．又a﹥0，于是3－a＝1，3＋a＝5，解得a＝2，所以λ1＝2，λ2＝1，λ3＝5． 当λ1＝2时，解方程(A－2E)x＝0．由 A－2E＝[*] 得基础解系p1＝(1，0，0)T 当λ2＝1时，解方程(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p1＝(0，﹣1，1)T． 当λ3＝5时，解方程组(A－5E)x＝0．由 A－5E＝[*] 得基础解系p3＝(0，1，1)T． 注意到p1，p2，p3是正交向量组，只需将p1，p2，p3单位化得 q1＝(1，0，0)T，[*] 于是正交变换为[*] 且有f＝2y12＋y22＋5y32．
解析
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考研数学一

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