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已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a﹥0),通过正交变换可化为标准形f=y12+2y22+5y312,求参数a以及所用的正交变换.
已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a﹥0),通过正交变换可化为标准形f=y12+2y22+5y312,求参数a以及所用的正交变换.
admin
2020-06-05
30
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+2ax
2
x
3
(a﹥0),通过正交变换可化为标准形f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
31
2
,求参数a以及所用的正交变换.
选项
答案
二次型f的矩阵为A=[*],A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =﹣(λ-3-a)(λ-3+a)(λ-2) 求得A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=3-a,λ
3
=3+a. 由于通过正交变换可将二次型化为标准形f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
,所以A的特征值为1,2,5.又a﹥0,于是3-a=1,3+a=5,解得a=2,所以λ
1
=2,λ
2
=1,λ
3
=5. 当λ
1
=2时,解方程(A-2E)x=0.由 A-2E=[*] 得基础解系p
1
=(1,0,0)
T
当λ
2
=1时,解方程(A-E)x=0.由 A-E=[*] 得基础解系p
1
=(0,﹣1,1)
T
. 当λ
3
=5时,解方程组(A-5E)x=0.由 A-5E=[*] 得基础解系p
3
=(0,1,1)
T
. 注意到p
1
,p
2
,p
3
是正交向量组,只需将p
1
,p
2
,p
3
单位化得 q
1
=(1,0,0)
T
,[*] 于是正交变换为[*] 且有f=2y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5fv4777K
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考研数学一
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