设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．

admin2016-03-16 58

问题设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．

选项

答案令F(χ)＝χ²e^-χf(χ)．由题意，显然F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．因为f(0)f(1)＜0，所以由零点定理知，存在η∈(0，1)，使得f(η)＝0，从而有F(η)＝0，F(0)＝0．所以再由Rolle定理得，存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得 F′(ξ)＝0[*]2ξf(ξ)e^-ξ－ξ²f(ξ)e^-ξ＋ξ²e^-ξf′(ξ)＝0

解析

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