2. 考研
  3. 设f′(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f′(x)|≤1/2|f(x)|.证明：f(x)=0，x∈[0，1].

设f′(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f′(x)|≤1/2|f(x)|.证明：f(x)=0，x∈[0，1].

admin2022-08-19  65
问题 设f′(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f′(x)|≤1/2|f(x)|.证明：f(x)=0，x∈[0，1].
选项
答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上 连续，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M. 当x0=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]； 当x0≠0时， M=|f(x0)|=|f(x0)-f(0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|≤1/2|f(ξ)|≤M/2， 其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1].
解析
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考研数学三

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