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设f(χ,y)二阶连续可偏导,g(χ,y)=f(eχy,χ2+y2),且 f(χ,y)=1-χ-y+o(), 证明:g(χ,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
设f(χ,y)二阶连续可偏导,g(χ,y)=f(eχy,χ2+y2),且 f(χ,y)=1-χ-y+o(), 证明:g(χ,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
admin
2017-09-15
60
问题
设f(χ,y)二阶连续可偏导,g(χ,y)=f(e
χy
,χ
2
+y
2
),且
f(χ,y)=1-χ-y+o(
),
证明:g(χ,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
选项
答案
由f(χ,y)=1-χ-y+o([*])得 f(χ,y)=-(χ-1)-y+o([*]), 由可微的定义得 f(1,0)=0,f′
χ
(1,0)=f′
y
(1,0)=-1. [*]=ye
χy
f′
1
+2χf′
2
, [*]=χe
χy
f′
1
+2yf′
2
, g′
χ
(0,0)=0,g′
y
(0,0)=0. [*]=y
2
e
χy
f′
1
+ye
χy
(ye
χy
f〞
11
+2χf〞
12
)+2f′
1
+2χ(ye
χy
f〞
21
+2χf〞
22
), [*]=(e
χy
+χye
χy
)f′
1
+ye
χy
(χe
χy
f〞
11
+2yf〞
12
)+2χ(χe
χy
f〞
21
+2yf〞
22
), [*]=χ
2
e
χy
f
′
1
+χe
χy
(χe
χy
f〞
11
+2yf〞
12
)+2f′
2
+2f(χe
χy
f〞
21
+2yf〞
22
), 则AA=g〞
χχ
(0,0)=-2,B=g〞
χy
(0,0)=-1,C=g〞
yy
(0,0)=-2, 因为AC-B
2
=3>0且A<0,所以g(χ,y)在(0,0)处取到极大值,极大值为g(0,0)=0.
解析
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证明:[*]
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