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设f(x)>0,f"(x)在(一∞,+∞)内连续,令φ(x)= (1)求φ’(x),并讨论φ’(x)的连续性. (2)证明φ(x)单调递增.
设f(x)>0,f"(x)在(一∞,+∞)内连续,令φ(x)= (1)求φ’(x),并讨论φ’(x)的连续性. (2)证明φ(x)单调递增.
admin
2017-07-26
58
问题
设f(x)>0,f"(x)在(一∞,+∞)内连续,令φ(x)=
(1)求φ’(x),并讨论φ’(x)的连续性.
(2)证明φ(x)单调递增.
选项
答案
(1)当x≠0时, [*] 于是,当x≠0时,f(x)>0,[∫
0
x
f(t)dt]
2
>0,φ’(x)连续. 又 [*] 所以φ’(x)在x=0处连续. (2)要证φ(x)单调递增,只要证明φ’(x)≥0.因为φ’(x)=[*],又f(x)>0,[∫
0
x
f(t)dt]
2
≥0,只需证明g(x)=∫
0
x
(x—t)f(t)dt≥0. 当x=0时,g(0)=0;当x>0时,g’(x)=∫
0
x
f(t)dt>0;当x<0时,g’(x)=一∫
0
x
f(t)dt<0.因此,当x<0时,g(x)严格递减,当x>0时,g(x)严格递增,而g(0)=0为最小值,故g(x)≥0,并且仅当x=0时,g(0)=0.
解析
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考研数学三
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