2. 考研
  3. 设f(x)＞0，f"(x)在(一∞，+∞)内连续，令φ(x)= (1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性． (2)证明φ(x)单调递增．

设f(x)＞0，f"(x)在(一∞，+∞)内连续，令φ(x)= (1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性． (2)证明φ(x)单调递增．

admin2017-07-26  45
问题 设f(x)＞0，f"(x)在(一∞，+∞)内连续，令φ(x)=
(1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性．
(2)证明φ(x)单调递增．
选项
答案(1)当x≠0时， [*] 于是，当x≠0时，f(x)＞0，[∫0xf(t)dt]2＞0，φ’(x)连续． 又 [*] 所以φ’(x)在x=0处连续． (2)要证φ(x)单调递增，只要证明φ’(x)≥0．因为φ’(x)=[*]，又f(x)＞0，[∫0xf(t)dt]2≥0，只需证明g(x)=∫0x(x—t)f(t)dt≥0． 当x=0时，g(0)=0；当x＞0时，g’(x)=∫0xf(t)dt＞0；当x＜0时，g’(x)=一∫0xf(t)dt＜0．因此，当x＜0时，g(x)严格递减，当x＞0时，g(x)严格递增，而g(0)=0为最小值，故g(x)≥0，并且仅当x=0时，g(0)=0．
解析
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考研数学三

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