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设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f"(x)|≤1(x∈[0,1])f(0)=f(1).证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f"(x)|≤1(x∈[0,1])f(0)=f(1).证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤.
admin
2014-12-17
58
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f"(x)|≤1(x∈[0,1])f(0)=f(1).证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤
.
选项
答案
对任意的x∈[0,1],由泰勒公式得[*] 两式相减得0=f’(x)+[*][f"(ξ
2
)(1一x)
2
一f"(ξ
1
)x
2
],于是|f’(x)|≤[*][|f"(ξ
2
)|(1-x)
2
+|f"(ξ
1
)|x
2
].由|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),得|f’(x)|≤[*][(1一x)
2
+x
2
],令φ(x)=(1-x)
2
+x
2
,令φ’(x)=0,得x=[*],因为φ(0)=φ(1)=1,[*],所以φ(x)=(1一x)
2
+x
2
在[0,1]上的最大值为1,故|f’(x)|≤[*].
解析
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考研数学三
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