2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，|f"(x)|≤1(x∈[0，1])f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有|f’(x)|≤．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，|f"(x)|≤1(x∈[0，1])f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有|f’(x)|≤．

admin2014-12-17  79
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，|f"(x)|≤1(x∈[0，1])f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有|f’(x)|≤．
选项
答案对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得[*] 两式相减得0=f’(x)+[*][f"(ξ2)(1一x)2一f"(ξ1)x2]，于是|f’(x)|≤[*][|f"(ξ2)|(1-x)2+|f"(ξ1)|x2]．由|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，得|f’(x)|≤[*][(1一x)2+x2]，令φ(x)=(1-x)2+x2，令φ’(x)=0，得x=[*]，因为φ(0)=φ(1)=1，[*]，所以φ(x)=(1一x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故|f’(x)|≤[*]．
解析
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考研数学三

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