设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f"(x)|≤1(x∈[0,1])f(0)=f(1).证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤.

admin2014-12-17  34

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,|f"(x)|≤1(x∈[0,1])f(0)=f(1).证明:对任意的x∈[0,1],有|f’(x)|≤

选项

答案对任意的x∈[0,1],由泰勒公式得[*] 两式相减得0=f’(x)+[*][f"(ξ2)(1一x)2一f"(ξ1)x2],于是|f’(x)|≤[*][|f"(ξ2)|(1-x)2+|f"(ξ1)|x2].由|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),得|f’(x)|≤[*][(1一x)2+x2],令φ(x)=(1-x)2+x2,令φ’(x)=0,得x=[*],因为φ(0)=φ(1)=1,[*],所以φ(x)=(1一x)2+x2在[0,1]上的最大值为1,故|f’(x)|≤[*].

解析
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