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设y=f(x)在[0,+∞]上有连续的导数,且fˊ(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞].又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0,证明:,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
设y=f(x)在[0,+∞]上有连续的导数,且fˊ(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞].又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0,证明:,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
admin
2016-04-29
91
问题
设y=f(x)在[0,+∞]上有连续的导数,且fˊ(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞].又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0,证明:
,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
选项
答案
对第二个积分做积分变量变换,并由分部积分,有 [*] 若a=φ(b),上式右边=ab 若a>φ(b),则当a>x>φ(b)时,f(x)>f(φ(b))= b, [*] 同理可证,若a<φ(b),也有[*]f(x)dx+φ(b)b>ab.
解析
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考研数学三
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