设y=f(x)在[0，+∞]上有连续的导数，且fˊ(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞]．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0，证明：，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．

admin2016-04-29 73

问题设y=f(x)在[0，+∞]上有连续的导数，且fˊ(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞]．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0，证明：

，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．

选项

答案对第二个积分做积分变量变换，并由分部积分，有 [*] 若a=φ(b)，上式右边=ab 若a＞φ(b)，则当a＞x＞φ(b)时，f(x)＞f(φ(b))= b， [*] 同理可证，若a＜φ(b)，也有[*]f(x)dx+φ(b)b＞ab．

解析

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考研数学三

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