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  3. 设A是m×n矩阵，r(A)=m＜n，则下列命题中不正确的是

设A是m×n矩阵，r(A)=m＜n，则下列命题中不正确的是

admin2016-10-26  76
问题 设A是m×n矩阵，r(A)=m＜n，则下列命题中不正确的是
选项 A、A经初等行变换必可化为(Em，0)．
B、b∈Rm，方程组Ax=b必有无穷多解．
C、如m阶矩阵B满足BA=0，则B=0．
D、行列式｜ATA｜=0．
答案D
解析 经初等变换可以把矩阵A化为标准形，但一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能把A化为标准形．例如，，只用初等行变换就不能化为标准形(E2，0)形式，(A)不正确．故应选(A)．
因为A是m×n矩阵，r(A)=m说明矩阵A的行向量组必线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以r=m＜n．(B)正确．
由BA=0知r(B)+r(A)≤m，又r(A)=m，故r(B)=0，即B=0．(C)正确．
ATA是n阶矩阵，r(ATA)=r(A)=m＜n，故｜ATA｜=0，即(D)正确．
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考研数学一

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