求下列曲线积分： (Ⅰ)I=∮L｜xy｜ds，其中L：=1(a＞b＞0)； (Ⅱ)I=∫Ly2ds，其中平面曲线L为旋轮线(0≤t≤2π)的一拱； (Ⅲ)I=∫L(x+y)ds，其中L为双纽线r2=a2cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣．

admin2016-10-26 77

问题求下列曲线积分：
(Ⅰ)I=∮_L｜xy｜ds，其中L：

=1(a＞b＞0)；
(Ⅱ)I=∫_Ly²ds，其中平面曲线L为旋轮线

(0≤t≤2π)的一拱；
(Ⅲ)I=∫_L(x+y)ds，其中L为双纽线r²=a²cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣．

选项

答案(Ⅰ)由于积分弧段的对称性与被积函数为偶函数，所以能够只在第一象限求积分．又由于椭圆的参数方程为x=cost，y=bsint，因此 [*] (Ⅲ)L是双纽线的右瓣：r²=a²cos2θ，[*]，L关于x轴对称，y关于y为奇函数，于是有∫_Lyds=0．从而I=∫_Lxds．由极坐标方程下曲线积分的计算公式得 [*]

解析

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考研数学一

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求下列曲线积分： (Ⅰ)I=∮L｜xy｜ds，其中L：=1(a＞b＞0)； (Ⅱ)I=∫Ly2ds，其中平面曲线L为旋轮线(0≤t≤2π)的一拱； (Ⅲ)I=∫L(x+y)ds，其中L为双纽线r2=a2cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣．

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