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设n元线性方程组Ax=b,其中A=,x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)T. (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)a为何值时,方程组有唯一解?求x1; (Ⅲ)a为何值时,方程组有无穷多解?求通解.
设n元线性方程组Ax=b,其中A=,x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)T. (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)a为何值时,方程组有唯一解?求x1; (Ⅲ)a为何值时,方程组有无穷多解?求通解.
admin
2013-10-11
65
问题
设n元线性方程组Ax=b,其中A=
,x=(x
1
,…,x
n
)
T
,b=(1,0,…,0)
T
.
(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
(Ⅱ)a为何值时,方程组有唯一解?求x
1
;
(Ⅲ)a为何值时,方程组有无穷多解?求通解.
选项
答案
(Ⅰ)利用行列式性质,有 [*] (Ⅱ)若使方程组Ax=b有唯一解,则|A|=(n+1)a
n
≠0,即a≠0.则由克莱姆法则得 [*] (Ⅲ)若使方程组Ax=b有无穷多解,则|A|=(n+1)a
n
=0,即a=0. 把a=0代入到矩阵A中,显然有[*]=r(A)=n-1,方程组的基础解系含一个解向量,它的基础解系为k(1,0,0,…,0)
T
(k为任意常数). 代入a=0后方程组化为[*]特解取为(0,1,0,…,0)
T
,则方程组Ax=b的通解为k(1,0,0,…,0)
T
+(0,1,0,…,0)
T
,其中的k为任意常数.
解析
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考研数学三
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