设f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明:对任意小于1的正数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1],使得f(ξ)=f(ξ+a).

admin2014-03-30  34

问题 设f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明:对任意小于1的正数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1],使得f(ξ)=f(ξ+a).

选项

答案设F(x)=f(x)-f(x+0),则F(x)在[0,1-a]上连续,又F(0)=f(0)-f(a)=-f(a)≤0,F(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)≥0,则(1)若f(a)=0或f(1-a)=0,结论成立. (2)f(a)>0或f(1-a)>0,由零点存在定理得,存在一点ξ∈(0,1-a)[*](0,1)使得F(ξ)=0,即可得结论。

解析
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