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设α1,α2,α3都是n维非零向量，证明：α1,α2,α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．
设α1,α2,α3都是n维非零向量，证明：α1,α2,α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．
admin
2017-10-21
32
问题
设α
1
,α
2
,α
3
都是n维非零向量，证明：α
1
,α
2
,α
3
线性无关
对任何数s，t，α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
都线性无关．
选项
答案
“→”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单． α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
对α
1
,α
2
,α
3
的表示矩阵为 [*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
的秩为2，线性无关． “←”在s=t=0时，得α
1
，α
2
线性无关，于是(根据定理3．2)只要再证明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表 示．用反证法．如果α
3
可以用α
1
，α
2
线性表示，设 α
3
=c
1
α
1
+c
2
α
2
，则因为α
3
不是零向量，c
1
，c
2
不能全为0．不妨设c
1
≠0，则有 [*] 于是[*]，α
2
线性相关，即当[*]时α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
相关，与条件矛盾．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6OH4777K
0
考研数学三
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