[2007年] 设矩阵，则A与B( )．

admin2019-05-10 91

问题 [2007年] 设矩阵

，则A与B( )．

选项 A、合同，且相似
B、合同但不相似
C、不合同，但相似
D、不合同，但相似

答案B

解析  因A，B都是实对称矩阵，先求A的特征值，看它们是否与B的特征值相同．
如相同，则A与B相似，当然合同；如不相同，但正的个数相同，则A与B不相似，但合同．
解一  易求得∣λE—A∣=λ(λ一3)²，故A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，它们不相同，但正特征值个数相同，且秩(A)=秩(B)=2，故A与B不相似，但合同．仅(B)入选．
解二  由命题2．5．3．3(4)知，如A与B相似，则tr(A)=tr(B)，但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2，故A与B不相似．
由于A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，X^TAX与X^TBX有相同的正、负惯性指数p=2，q=0．因而由命题2．6．3．1知A与B合同，于是仅(B)入选．

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考研数学二

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