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[2007年] 设矩阵,则A与B( ).
[2007年] 设矩阵,则A与B( ).
admin
2019-05-10
64
问题
[2007年] 设矩阵
,则A与B( ).
选项
A、合同,且相似
B、合同但不相似
C、不合同,但相似
D、不合同,但相似
答案
B
解析
因A,B都是实对称矩阵,先求A的特征值,看它们是否与B的特征值相同.
如相同,则A与B相似,当然合同;如不相同,但正的个数相同,则A与B不相似,但合同.
解一 易求得∣λE—A∣=λ(λ一3)
2
,故A的特征值为3,3,0,而B的特征值为1,1,0,它们不相同,但正特征值个数相同,且秩(A)=秩(B)=2,故A与B不相似,但合同.仅(B)入选.
解二 由命题2.5.3.3(4)知,如A与B相似,则tr(A)=tr(B),但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2,故A与B不相似.
由于A的特征值为3,3,0,而B的特征值为1,1,0,X
T
AX与X
T
BX有相同的正、负惯性指数p=2,q=0.因而由命题2.6.3.1知A与B合同,于是仅(B)入选.
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考研数学二
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