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  3. 设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则( )．

设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则( )．

admin2020-01-15  53
问题 设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则(    )．
选项 A、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关
B、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关
C、若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关
D、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关
答案D
解析 设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．
    因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．
    若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量组线性无关，A项不对；
    若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关，B项不对；
    若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，C项不对；
    若r(C)＝s，则r(A)＝s，故选D．
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考研数学二

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