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设函数f(x)和g(x)和[a,b]上存在二阶导数,并且g〞(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=O,试证 (1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使
设函数f(x)和g(x)和[a,b]上存在二阶导数,并且g〞(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=O,试证 (1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使
admin
2019-02-23
86
问题
设函数f(x)和g(x)和[a,b]上存在二阶导数,并且g〞(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=O,试证
(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0;
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使
选项
答案
证:将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)-f〞(ε)g(ε)=0,由此可启发我们构造辅助函数φ(x)=f(x)gˊ(x)-fˊ(x)g(x). (1)用反证法.若存在c∈(a,b),使g(c)=0,对g(x)在[a,c]和[c,b]上应用罗尔定理,知存在ε
1
∈(a,c),ε
2
∈(c,d),使gˊ(ε
1
)=gˊ(ε
2
)=0. gˊ(x)再在[ε
1
,ε
2
]上应用罗尔定理,应存在ε
3
∈(ε
1
,ε
2
),使g〞(ε
3
)=0,这与条件g〞(x)≠0矛盾.故在(a,b)内g(x)≠0. (2)令φ(x)=f(x)gˊ(x)-fˊ(x)g(x),则φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理知,存在ε∈(a,b),使φˊ(ε)=0,即 fˊ(ε)gˊ(ε)+f(ε)g〞(ε)-f〞(ε)g(ε)-fˊ(ε)gˊ(ε)=0 即 f(ε)g〞(ε)=f〞(ε)g(ε) 因g(ε)≠0,g〞(ε)≠0,故得 [*]
解析
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考研数学二
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