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设y1=xex+2e2x,y2=xex+3e-x,y3=xex—e2x一e-x为某二阶常系数线性非齐次方程的3个特解,设该方程的y"前的系数为1,则该方程为_________.
设y1=xex+2e2x,y2=xex+3e-x,y3=xex—e2x一e-x为某二阶常系数线性非齐次方程的3个特解,设该方程的y"前的系数为1,则该方程为_________.
admin
2018-08-22
74
问题
设y
1
=xe
x
+2e
2x
,y
2
=xe
x
+3e
-x
,y
3
=xe
x
—e
2x
一e
-x
为某二阶常系数线性非齐次方程的3个特解,设该方程的y"前的系数为1,则该方程为_________.
选项
答案
y"一y’一2y=(1--2x)e
x
解析
非齐次方程的两个解的差为对应齐次方程的解,故
Y
1
=y
1
一y
2
=2e
2x
一3e
-x
,
Y
2
=y
1
一y
3
=3e
2x
+e
-x
,
为对应的齐次方程的两个解.于是又可推知
Y
1
+3Y
2
=11e
2x
,3Y
1
—2Y
2
=一11e
-x
,
也是对应的齐次方程的两个解.所以r=2,r=一1是特征方程两个根,特征方程为
(r一2)(r+1)=r
2
一r一2=0,
对应齐次方程为
y"-y’一2y=0.
设该非齐次方程为
y"-y’一2yf(x).
将已知的一个特解代入,求得f(x)=(1—2x)e
x
,故所求的非齐次方程如上所填.
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考研数学二
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