设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=0,其中 求正交变换X=QY将二次型化为标准形;

admin2016-10-24  36

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=0,其中

求正交变换X=QY将二次型化为标准形;

选项

答案由AB+B=0得(E+A)B=0,从而r(E+A)+r(B)≤3,因为r(B)=2,所以r(E+A)≤1,从而λ=一1为A的特征值且不低于2重,显然λ=一1不可能为三重特征值,则A的特征值为λ12=一1,λ3=5. 由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解, 故α1=[*],α2=[*] 为λ12=一1对应的线性无关解. 令α3=[*]为λ3=5对应的特征向量, 因为AT=A,所以[*],解得α3=[*] 令β1=[*] β22一[*],正交化得 [*] 令Q=(γ1,γ2,γ3),则f=XTAX[*]一y12一y22+5y32

解析
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