2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

admin2016-10-24  71
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中

求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
选项
答案由AB+B=0得(E+A)B=0，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=5． 由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解， 故α1=[*]，α2=[*] 为λ1=λ2=一1对应的线性无关解． 令α3=[*]为λ3=5对应的特征向量， 因为AT=A，所以[*]，解得α3=[*] 令β1=[*] β2=α2一[*]，正交化得 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)，则f=XTAX[*]一y12一y22+5y32．
解析
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考研数学三

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