2. 考研
  3. 设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周形成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的两倍，求函数f(χ)的表达式．

设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周形成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的两倍，求函数f(χ)的表达式．

admin2016-03-16  105
问题 设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周形成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的两倍，求函数f(χ)的表达式．
选项
答案旋转体体积 V(t)＝π∫0ty2dχ， 旋转体的的侧面积 S(t)＝∫0t2πf(χ)[*]dχ． 由题设得 2π∫0ty[*]dχ＝2π∫0ty2dχ， 两边求导得 y[*]＝y2， 所以[*]＝y，从而1＋(y′)2＝y2． 由于f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，所以 y′＝[*] 因此方程的通解为y＋[*]＝Ceχ，又f(0)＝1，可得C＝1，所以所求函数表达式为 f(χ)＝[*]
解析
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考研数学二

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