设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (1)A2; (2)A的特征值和特征向量; (3)A能否相似于对角阵,说明理由.

admin2018-04-18  50

问题 设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求:
    (1)A2
    (2)A的特征值和特征向量;
    (3)A能否相似于对角阵,说明理由.

选项

答案(1)由A=αβT和αTβ=0,有 A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβT=0, 即A是幂零阵(A2=O). (2)利用(1)A2=O的结果.设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=λξ. 两边左乘A,得 A2ξ=λAξ=λ2ξ. 因A2=O,所以λ2ξ=0,ξ≠0,故λ=0即矩阵A的全部特征值为0. (3)A不能相似于对角阵,因α≠0,β≠0,故A=αβT≠O,r(A)=r≠0(其实r(A)=1,为什么?).从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n个,故A不能对角化.

解析
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