2. 考研
  3. 设函数y=y(x)在R上具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数， (Ⅰ)将x=x(y)满足的微分方程变换成y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

设函数y=y(x)在R上具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数， (Ⅰ)将x=x(y)满足的微分方程变换成y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

admin2016-02-27  50
问题 设函数y=y(x)在R上具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数，
(Ⅰ)将x=x(y)满足的微分方程变换成y=y(x)满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。
选项
答案(Ⅰ)[*] 将其代入[*]中，得 y”-y=sinx。 (Ⅱ)微分方程y”-y=sinx对应的齐次微分方程的特征方程为 λ2-1=0， 解得λ=±1。 故对应的齐次微分方程的通解为Y=C1e-x+C2ex，设特解为y*=asinx+bcosx， 代入方程y”-y=sinx中，解得[*]，b=0。 所以非齐次微分方程的通解为 y=C1e-x+C2ex-[*]sinx， 将初值条件y(0)=0，y’(0)=[*]代入上式解得C1=-1，C2=1。 所以 y(x)=ex-e-x-[*]sinx。
解析
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考研数学二

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