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设A、B为两个n阶方阵,现有4个命题: ①若A、B为等价矩阵,则A、B的行向量组等价; ②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|,则A、B为等价矩阵; ③若Ax=0与Bx=0均只有零解,则A、B为等价矩阵; ④若A、B为相似
设A、B为两个n阶方阵,现有4个命题: ①若A、B为等价矩阵,则A、B的行向量组等价; ②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|,则A、B为等价矩阵; ③若Ax=0与Bx=0均只有零解,则A、B为等价矩阵; ④若A、B为相似
admin
2017-01-18
42
问题
设A、B为两个n阶方阵,现有4个命题:
①若A、B为等价矩阵,则A、B的行向量组等价;
②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|,则A、B为等价矩阵;
③若Ax=0与Bx=0均只有零解,则A、B为等价矩阵;
④若A、B为相似矩阵,则Ax=0与Bx=0的基础解系中所含向量个数相同。
以上命题正确的是( )
选项
A、①,③。
B、②,④。
C、②,③。
D、③,④。
答案
D
解析
A、B为n阶方阵,因此A、B等价←→r(A)=r(B),而两个矩阵的秩相等,并不能得到其行向量组一定等价,如A=
,则r(A)=r(B),即A、B等价,但A、B的行向量组并不等价,可见命题①不成立;|A|=|B|,推导不出r(A)=r(B),即推导不出A、B等价,命题②也不成立;若Ax=0与Bx=0均只有零解,则r(A)=r(B)=n,从而A、B为等价矩阵,命题③成立;若A、B相似,则r(A)=r(B),从而Ax=0与Bx=0基础解系中所含向量个数分别为n一r(A)与n—r(B),显然是相同的,命题④成立。对照四个选项知,应选D。
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