2. 考研
  3. 设A、B为两个n阶方阵，现有4个命题： ①若A、B为等价矩阵，则A、B的行向量组等价； ②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|，则A、B为等价矩阵； ③若Ax=0与Bx=0均只有零解，则A、B为等价矩阵； ④若A、B为相似

设A、B为两个n阶方阵，现有4个命题： ①若A、B为等价矩阵，则A、B的行向量组等价； ②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|，则A、B为等价矩阵； ③若Ax=0与Bx=0均只有零解，则A、B为等价矩阵； ④若A、B为相似

admin2017-01-18  42
问题 设A、B为两个n阶方阵，现有4个命题：
    ①若A、B为等价矩阵，则A、B的行向量组等价；
    ②若A、B的行列式相等。即|A|=|B|，则A、B为等价矩阵；
    ③若Ax=0与Bx=0均只有零解，则A、B为等价矩阵；
    ④若A、B为相似矩阵，则Ax=0与Bx=0的基础解系中所含向量个数相同。
    以上命题正确的是(    )
选项 A、①，③。
B、②，④。
C、②，③。
D、③，④。
答案D
解析 A、B为n阶方阵，因此A、B等价←→r(A)=r(B)，而两个矩阵的秩相等，并不能得到其行向量组一定等价，如A=，则r(A)=r(B)，即A、B等价，但A、B的行向量组并不等价，可见命题①不成立；|A|=|B|，推导不出r(A)=r(B)，即推导不出A、B等价，命题②也不成立；若Ax=0与Bx=0均只有零解，则r(A)=r(B)=n，从而A、B为等价矩阵，命题③成立；若A、B相似，则r(A)=r(B)，从而Ax=0与Bx=0基础解系中所含向量个数分别为n一r(A)与n—r(B)，显然是相同的，命题④成立。对照四个选项知，应选D。
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考研数学二

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