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已知数列(an)是等比数列,且其公比不为1,a7,a5,a6成等差数列,其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意m∈N*,Sm+2,Sm,Sm+1成等差数列.
已知数列(an)是等比数列,且其公比不为1,a7,a5,a6成等差数列,其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意m∈N*,Sm+2,Sm,Sm+1成等差数列.
admin
2015-12-09
92
问题
已知数列(a
n
)是等比数列,且其公比不为1,a
7
,a
5
,a
6
成等差数列,其前n项和为S
n
.
(1)求数列{a
n
}的公比;
(2)证明:对任意m∈N
*
,S
m+2
,S
m
,S
m+1
成等差数列.
选项
答案
(1)设等比数列{a
n
}的公比为q, 因为a
7
,a
5
,a
6
成等差数列, 故2a
5
=a
6
+a
7
,即2a
1
q
4
=a
1
q
5
+a
1
q
6
解得q=1(舍去)或q=-2, 故数列{a
1
}的公比为-2. (2)证明:假设S
m+2
,S
m
,S
m+1
成等差数列, 故2S
m
=S
m+2
+S
m+1
[*]2q
m
=q
m+2
+q
m+1
, 又q=-2,故2(-2)
m
=4(-2)
m
-2(-2)
m
. 当m∈N
*
时,上式恒成立, 故原假设成立,对任意m∈N
*
,S
m+2
,S
m
,S
m+1
,成等差数列.
解析
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