已知数列(an)是等比数列，且其公比不为1，a7，a5，a6成等差数列，其前n项和为Sn． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意m∈N*，Sm+2，Sm，Sm+1成等差数列．

admin2015-12-09 116

问题已知数列(a_n)是等比数列，且其公比不为1，a₇，a₅，a₆成等差数列，其前n项和为S_n．
(1)求数列{a_n}的公比；
(2)证明：对任意m∈N^*，S_m+2，S_m，S_m+1成等差数列．

选项

答案(1)设等比数列{a_n}的公比为q，因为a₇，a₅，a₆成等差数列，故2a₅＝a₆＋a₇，即2a₁q⁴＝a₁q⁵＋a₁q⁶ 解得q＝1(舍去)或q＝－2，故数列{a₁}的公比为－2． (2)证明：假设S_m+2，S_m，S_m+1成等差数列，故2S_m＝S_m+2＋S_m+1[*]2q^m＝q^m+2＋q^m+1，又q＝－2，故2(－2)^m＝4(－2)^m－2(－2)^m．当m∈N^*时，上式恒成立，故原假设成立，对任意m∈N^*，S_m+2，S_m，S_m+1，成等差数列．

解析

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已知数列(an)是等比数列，且其公比不为1，a7，a5，a6成等差数列，其前n项和为Sn． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意m∈N*，Sm+2，Sm，Sm+1成等差数列．

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