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已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2.…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. 设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2.…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. 设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;
admin
2019-06-01
59
问题
已知{a
n
}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A
n
,第n项之后各项a
n+1
,a
n+2
.…的最小值记为B
n
,d
n
=A
n
-B
n
.
设d是非负整数,证明:d
n
=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a
n
}是公差为d的等差数列;
选项
答案
(充分性)因为{a
n
}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a
1
≤a
2
≤…≤a
n
≤….因此A
n
=a
n
,B
n
=a
n+1
,d
n
=a
n
-a
n+1
=-d(n=1,2,3,…). (必要性)因为d,=-d≤0(n=1,2,3,…),所以A
n
=B
n
+d
n
≤B
n
.又因为a
n
≤A
n
,a
n+1
≥B
n
,所以a
n
≤a
n+1
.于是A
n
=a
n
,B
n
=a
n+1
,因此a
n+1
-a
n
=B
n
-A
n
=-d
n
=d,即{a
n
}是公差为d的等差数列.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/70Fq777K
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