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[2008年] 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P(X=i)=1/3(i=一1,0,1),Y的概率密度为记Z=X+Y. 求Z的概率密度fZ(z).
[2008年] 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P(X=i)=1/3(i=一1,0,1),Y的概率密度为记Z=X+Y. 求Z的概率密度fZ(z).
admin
2019-05-16
41
问题
[2008年] 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P(X=i)=1/3(i=一1,0,1),Y的概率密度为
记Z=X+Y.
求Z的概率密度f
Z
(z).
选项
答案
因X的可能取值为一1,0,1,而f
Y
(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1,一1≤z=x+y≤2. (1)当z≥2时,X,Y的所有取值均满足上式,故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1. (2)当z=x+y<一1时,X,Y的取值为空值,则P(X+Y≤z)=[*]=0. (3)当一1≤z<2时,下面用全概率公式求出F
Z
(z)的表示式: F
Z
(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z|X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z|X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z|X=1)P(X=1) [*] (F
y
(z)为y的分布函数), 则f
Z
(z)=F’
Z
(z)=[*][F
Y
(z+1)+f
Y
(z)+f
Y
(z—1)]. 当0<z+1<1或0<z<1或0<z—1<1,即一1<z<2时,F
Z
(z)=[*];其他情况下,f
Z
(z)=0.
解析
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考研数学一
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