已知矩阵A＝和B＝相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P-1AP＝B．

admin2017-11-09 31

问题已知矩阵A＝

和B＝

相似，求a，b及一个可逆矩阵P，使P^-1AP＝B．

选项

答案因为A，B相似，所以｜A｜＝｜B｜，且tr(A)＝tr(B)， [*] ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－3)(λ＋5)＋16＝λ²＋2λ－15＋16 ＝λ²＋2λ＋1＝(λ＋1)²．故A的两个特征值为－1，－1．但(－E－A)＝[*] 因此R(－E－A)＝1，所以不能对角化．设P＝[*]，满足P^-1AP＝B，即有AP＝PB，从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为 [*] 所以可令P＝[*]，则有P^-1AP＝B

解析

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考研数学三

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设A为m×n实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．
设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．
设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)
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