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  3. [2009年] 计算二重积分其中D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2≤2，y≥x}．

[2009年] 计算二重积分其中D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2≤2，y≥x}．

admin2019-07-16  64
问题 [2009年]  计算二重积分其中D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2≤2，y≥x}．
选项
答案解一 设x=rcosθ，y=rsinθ(以原点为极点)，则由(x－1)2+(y－1)2=2得到x2+y2=2(x+y)，因而 x2+y2=r2=2(x+y)=2r(cosθ+sinθ)， 即r=2(cosθ+sinθ)．而 D={(r，θ)|π／4≤θ≤3π／4，0≤r≤2(cosθ+sinθ)}， 则 [*] 解二 做坐标平移，令u=x－1，v=y－1，则D变为 Duv={(u，v)|u2+v2≤2，v≥u)， 且[*]令u=rcosθ，v=rsinθ，则 r2cos2θ+r2sin2θ=r2≤2，即[*] 于是在极坐标系(r，θ)中Duv变为[*]故 [*]
解析
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考研数学三

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