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[2009年] 计算二重积分其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.
[2009年] 计算二重积分其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.
admin
2019-07-16
59
问题
[2009年] 计算二重积分
其中D={(x,y)|(x-1)
2
+(y-1)
2
≤2,y≥x}.
选项
答案
解一 设x=rcosθ,y=rsinθ(以原点为极点),则由(x-1)
2
+(y-1)
2
=2得到x
2
+y
2
=2(x+y),因而 x
2
+y
2
=r
2
=2(x+y)=2r(cosθ+sinθ), 即r=2(cosθ+sinθ).而 D={(r,θ)|π/4≤θ≤3π/4,0≤r≤2(cosθ+sinθ)}, 则 [*] 解二 做坐标平移,令u=x-1,v=y-1,则D变为 D
uv
={(u,v)|u
2
+v
2
≤2,v≥u), 且[*]令u=rcosθ,v=rsinθ,则 r
2
cos
2
θ+r
2
sin
2
θ=r
2
≤2,即[*] 于是在极坐标系(r,θ)中D
uv
变为[*]故 [*]
解析
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考研数学三
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