设n阶实对称矩阵A为正定矩阵,B为n阶实矩阵,证明: BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0.

admin2020-05-06  27

问题 设n阶实对称矩阵A为正定矩阵,B为n阶实矩阵,证明:
  BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0.

选项

答案如果|B|≠0.则齐次线性方程组BX=0仅有零解,所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量.而A正定,因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY>0 即BTAB正定. 反之,如果BTAB正定,则|BTAB|>0 所以|BT||A|.|B|=|A|.|B|T>0,当然有|B|≠0.

解析
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