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设n阶实对称矩阵A为正定矩阵,B为n阶实矩阵,证明: BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0.
设n阶实对称矩阵A为正定矩阵,B为n阶实矩阵,证明: BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0.
admin
2020-05-06
23
问题
设n阶实对称矩阵A为正定矩阵,B为n阶实矩阵,证明:
B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0.
选项
答案
如果|B|≠0.则齐次线性方程组BX=0仅有零解,所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量.而A正定,因此X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)=Y
T
AY>0 即B
T
AB正定. 反之,如果B
T
AB正定,则|B
T
AB|>0 所以|B
T
||A|.|B|=|A|.|B|
T
>0,当然有|B|≠0.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
公共课
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