设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．

admin2020-05-06 23

问题设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明：
B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．

选项

答案如果｜B｜≠0．则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量．而A正定，因此X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)=Y^TAY＞0 即B^TAB正定．反之，如果B^TAB正定，则｜B^TAB｜＞0 所以｜B^T｜｜A｜．｜B｜=｜A｜．｜B｜^T＞0，当然有｜B｜≠0．

解析

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