2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足f″(x)+[f′(x)]2－4f(x)=0．则在区间(a，b)内f(x) ( )

设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足f″(x)+[f′(x)]2－4f(x)=0．则在区间(a，b)内f(x) ( )

admin2020-01-15  103
问题 设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足f″(x)+[f′(x)]2－4f(x)=0．则在区间(a，b)内f(x)    (    )
选项 A、存在正的极大值，不存在负的极小值．
B、存在负的极小值，不存在正的极大值．
C、既有正的极大值，又有负的极小值．
D、恒等于零．
答案D
解析 设存在x0∈(a，b)，f(x0)＞0且为f(x)的极大值，于是f′(x0)=0．代入所给方程得f″(x0)=4f(x0)＞0，则f(x0)为极小值，矛盾．进一步可知不存在c∈(a，b)，使f(c)＞0．因若不然，由于f(a)=f(b)=0，推知在(a，b)内f(x)存在正的最大值，同时也是极大值．与已证矛盾．
类似地可证f(x)在(a，b)内取不到负值．
于是只能选(D)．当然，f(x)≡0是满足所给方程的．
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考研数学二

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